Question

已知函數(shù)f（x）=

x-1

lnx

．
（Ⅰ）求證：當x＞1時，f（x）＞1；
（Ⅱ）令a_n+1=f（a_n），a₁=

e

，求證：2ⁿlna_n≥1．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（Ⅰ）令g（x）=lnx-x+1，求導數(shù)，證明x＞1時，g（x）＜g（1）=0，即lnx-x+1＜0，即可證明當x＞1時，f（x）＞1；
（Ⅱ）用數(shù)學歸納法證明2ⁿlna_n≥1即可．

解答： 證明：（Ⅰ）令g（x）=lnx-x+1，則g′（x）=

1-x

x

當0＜x＜1時，g′（x）＞0，∴函數(shù)y=g（x）在0＜x＜1時為增函數(shù)，
∴0＜x＜1時，g（x）＜g（1）=0，即lnx-x+1＜0；
當x＞1時，g′（x）＜0，∴函數(shù)y=g（x）在x＞1時為減函數(shù)，
∴x＞1時，g（x）＜g（1）=0，即lnx-x+1＜0，
則當x＞1時，0＜lnx＜x-1，∴

x-1

lnx

＞1，即f（x）＞1；                …（5分）
（Ⅱ）下面用數(shù)學歸納法證明2ⁿlna_n≥1
ⅰ）當n=1時，a₁=

e

，知2lna1=2ln

e

=1，∴n=1時，命題成立
ⅱ）假設(shè)n=k時，命題成立．即2^klna_k≥1
要證明n=k+1時，命題成立．即證明2^k+1lna_k+1≥1，只需證明a_k+1≥e

1

2k+1

依題意知a_k+1=

ak-1

lnak

，即證明：

ak-1

lnak

≥e

1

2k+1

f′（x）=

-ln 1 x + 1 x -1

(lnx)2

x＞1時，有0＜

1

x

＜1，由（Ⅰ）可知ln

1

x

-

1

x

+1＜0，
∴當x＞1時，f′（x）＞0，∴函數(shù)x＞1時為增函數(shù)
由歸納假設(shè)2^klna_k≥1，即a_k≥e

1

2k

＞1，
∴f（a_k）≥f（e

1

2k

）=

e 1 2k -1

1 2k

…（1）
依題意知a_k+1=f（a_k），故又只需證明f（e

1

2k

）＞e

1

2k+1

，
構(gòu)造函數(shù)h（x）=e^x-1-xe

x

2

，h′（x）=e

x

2

（e

x

2

-1-

x

2

）
e

x

2

＞1，由（Ⅰ）知lne

x

2

-e

x

2

+1＜0，即e

x

2

-1-

x

2

＞0，∴h′（x）＞0
∴函數(shù)y=h（x），x＞0為增函數(shù)，∴h（

1

2k

）＞h（0）=0，
則f（e

1

2k

）=

e 1 2k -1

1 2k

＞e

1

2k+1

 …（2），
由（1）（2）及題意知a_k+1≥e

1

2k+1

，即2^k+1lna_k+1≥1
綜合（�。�ⅱ）知，有2ⁿlna_n≥1成立．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查數(shù)學歸納法，考查學生分析解決問題的能力，正確運用數(shù)學歸納法是關(guān)鍵．