Question

14．已知橢圓的焦點是F₁（-1，0）和F₂（1，0），又過點（1，$\frac{3}{2}$）．
（1）求橢圓的離心率；
（2）又設點P在這個橢圓上，且|PF₁|-|PF₂|=1，求∠F₁PF₂的余弦的大�。�

Answer 1

分析 （1）由已知結合橢圓定義求得2a，則橢圓離心率可求；
（2）聯(lián)立|PF₁|+|PF₂|=4，|PF₁|-|PF₂|=1，求出|PF₁|、|PF₂|的值，在三角形F₁PF₂中，利用余弦定理求得∠F₁PF₂的余弦的大�。�

解答 解：（1）由題意知，c=1，
2a=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（0-\frac{3}{2}）^{2}}+\sqrt{（1-1）^{2}+（0-\frac{3}{2}）^{2}}$=4，即a=2，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$；
（2）由|PF₁|+|PF₂|=2a=4，|PF₁|-|PF₂|=1，
聯(lián)立可得：|PF₁|=$\frac{5}{2}$，|PF₂|=$\frac{3}{2}$，
又|F₁F₂|=2c=2，
∴cos∠F₁PF₂ =$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$=$\frac{（\frac{5}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}-{2}^{2}}{2×\frac{5}{2}×\frac{3}{2}}=\frac{3}{5}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了橢圓的定義，涉及橢圓焦點三角形問題，常用橢圓定義和余弦定理解決，是中檔題．