Question

已知a為實數(shù)，數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，當n
（I）當a=200時，填寫下列表格；

N	2	3	51	200
an

（II）當a=200時，求數(shù)列{a_n}的前200項的和S₂₀₀；
（III）令b，T_n=b₁+b₂…+b_n求證：當1時，T．

Answer 1

【答案】分析：（I）當a=200時，利用遞推式，即可得到相應結(jié)論；
（II）當a=200時，由題意知{a_n}數(shù)列的前50項成首項為200，公差為-4的等差數(shù)列，從第51項開始，奇數(shù)項均為1，偶數(shù)項均為4，分組求和，即可求數(shù)列{a_n}的前200項的和S₂₀₀；
（III）確定數(shù)列的通項，分類討論，分組求和，即可證得結(jié)論．
解答：（I）解：由題意，

n	2	3	51	200
an	196	192	1	4

…（4分）
（II）解：當a=200時，由題意知{a_n}數(shù)列的前50項成首項為200，公差為-4的等差數(shù)列，從第51項開始，奇數(shù)項均為1，偶數(shù)項均為4．
從而S₂₀₀=+==5475．…（6分）
（III）證明：當1時，因為a_n=，
所以=                 …（8分）
當n為偶數(shù)2k時，T_n=b₁+b₂+…+b_2k=-+-+…+=-（++…+）+（+…+）
=+=
因為1，所以，…（10分）
當n為奇數(shù)2k-1時，T_n=b₁+b₂+…+b_2k-1=-+-+…+-＜-（++…+）+（+…+）

綜上：．…（12分）
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查不等式的證明，考查數(shù)列的求和，考查學生的計算能力，難度較大．