Question

1．在Rt△ABC中，點D是斜邊AB上的點，且滿足∠ACD=60°，∠BCD=30°，設(shè)AC=x，BC=y，DC=2，則x，y滿足的相等關(guān)系式是y=$\frac{\sqrt{3}x}{x-1}$，（x＞1，y＞$\sqrt{3}$），△ABC面積的最小值是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 過D作DE⊥AC，義AC于E，過D作DF⊥BC，交BC于F，由CF=$\sqrt{3}$，DF=1，從而$\frac{\sqrt{3}}{y}$=$\frac{x-1}{x}$，由此能求出x，y滿足的相等關(guān)系式是y=$\frac{\sqrt{3}x}{x-1}$，（x＞1，y＞$\sqrt{3}$）．S_△ABC=$\frac{1}{2}xy$=$\frac{1}{2}x（\frac{\sqrt{3}x}{x-1}）$=$\frac{\sqrt{3}{x}^{2}}{2x-2}$，（x＞1）．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出△ABC面積的最小值．

解答 解：∵Rt△ABC中，點D是斜邊AB上的點，且滿足∠ACD=60°，∠BCD=30°，DC=2，
過D作DE⊥AC，義AC于E，過D作DF⊥BC，交BC于F，
∴CF=$\sqrt{3}$，DF=1，
∵DE∥BC，AC=x，BC=y，
∴$\frac{\sqrt{3}}{y}$=$\frac{x-1}{x}$，
∴x，y滿足的相等關(guān)系式是y=$\frac{\sqrt{3}x}{x-1}$，（x＞1，y＞$\sqrt{3}$）．
S_△ABC=$\frac{1}{2}xy$=$\frac{1}{2}x（\frac{\sqrt{3}x}{x-1}）$=$\frac{\sqrt{3}{x}^{2}}{2x-2}$，（x＞1）．
∴${{S}_{△ABC}}^{'}$=$\frac{2\sqrt{3}{x}^{2}-4\sqrt{3}x}{（2x-2）^{2}}$，x＞1，
由${{S}_{△ABC}}^{'}$=0，得x=2，
x∈（0，2）時，${{S}_{△ABC}}^{'}$＜0，x∈（2，+∞）時，${{S}_{△ABC}}^{'}$＞0，
∴x=2時，（S_△ABC）_min=$\frac{\sqrt{3}×{2}^{2}}{2×2-2}$=2$\sqrt{3}$．
故答案為：y=$\frac{\sqrt{3}x}{x-1}$，（x＞1，y＞$\sqrt{3}$），2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查x，y滿足的相等關(guān)系式的求法，考查三角形面積的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．