Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+

1

2

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當x∈[0，

π

2

]時，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+

3

2

，由周期公式即可求T，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z即可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．（2）由0≤x≤

π

2

，可得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，從而有-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，即可求得f（x）的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

）+

3

2

，
∴T=

2π

2

=π，
∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z即可解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z…（6分）
（2）∵0≤x≤

π

2

，
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴f（x）的最大值為

7

2

，最小值為

1

2

．…（12分）

點評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．