Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（x+1）+alog₂（1-x），且f（-x）=-f（x）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求證：f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）（-1＜a＜1，-1＜b＜1）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（-x）=-f（x），f（x）=log₂（x+1）+alog₂（1-x），可化出（a+1）（log₂（x+1）+log₂（1-x））=0；從而可解得．
（2）f（

a+b

1+ab

）=log₂（

a+b

1+ab

+1）-log₂（1-

a+b

1+ab

）=log₂（a+b+ab+1）-log₂（1+ab-a-b）化簡(jiǎn)可得．

解答： 解：（1）∵f（-x）=-f（x），
∴l(xiāng)og₂（x+1）+alog₂（1-x）+log₂（-x+1）+alog₂（1+x）=0，
（a+1）（log₂（x+1）+log₂（1-x））=0，
則a=-1，
則f（x）=log₂（x+1）-log₂（1-x），（-1＜x＜1）
（2）證明：f（

a+b

1+ab

）=log₂（

a+b

1+ab

+1）-log₂（1-

a+b

1+ab

）
=log₂（a+b+ab+1）-log₂（1+ab-a-b）
=log₂（a+1）（b+1）-log₂（1-a）（1-b）
=（log₂（a+1）-log₂（1-a））+（log₂（b+1）-log₂（1-b））
=f（a）+f（b）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用及學(xué)生的化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．