Question

已知關(guān)于x的不等式

2-x

+

x+1

＜m對(duì)于任意的x∈[-1，2]恒成立
（Ⅰ）求m的取值范圍；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下求函數(shù)f（m）=m+

1

(m-2)2

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意可得m大于式子

2-x

+

x+1

的最大值，再利用柯西不等式求得式子

2-x

+

x+1

的最大值，可得m的范圍．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得m-2＞0，則f(m)=m+

1

(m-2)2

=

1

2

(m-2)+

1

2

(m-2)+

1

(m-2)2

+2，再利用基本不等式，求得它的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵關(guān)于x的不等式

2-x

+

x+1

＜m對(duì)于任意的x∈[-1，2]恒成立，可得m大于式子

2-x

+

x+1

的最大值．
根據(jù)柯西不等式，有(

2-x

+

x+1

)2=(1•

2-x

+1•

x+1

)2≤[12+12]•[(

2-x

)2+(

x+1

)2]=6，
所以

2-x

+

x+1

≤

6

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

2

時(shí)等號(hào)成立，故m＞

6

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得m-2＞0，則f(m)=m+

1

(m-2)2

=

1

2

(m-2)+

1

2

(m-2)+

1

(m-2)2

+2，
∴f(m)≥3

3	1 2 (m-2)• 1 2 (m-2)• 1 (m-2)2

+2=

3

2

3	2

+2，
當(dāng)且僅當(dāng)

1

2

(m-2)=

1

(m-2)2

，即m=

3	2

+2＞

6

時(shí)取等號(hào)，
所以函數(shù)f(m)=m+

1

(m-2)2

的最小值為

3

2

3	2

+2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查柯西不等式、基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．