已知a＞0，b＞0，n∈N*，求證：(a＋b)(an＋bn)≤2(an+1＋bn+1)．

答案：
解析：

　　證明：∵(a＋b)(an＋bn)－2(an+1＋bn+1)＝abn＋ban＋an+1＋bn+1－2an+1－2bn+1＝abn＋ban－an+1－bn+1＝bn(a－b)－an(a－b)＝(a－b)(bn－an)．

　　當(dāng)a＞b＞0時(shí)，a－b＞0，bn＜an，bn－an＜0，

　　原式小于0；

　　當(dāng)b＞a＞0時(shí)，a－b＜0，bn－an＞0，原式小于0；

　　當(dāng)b＝a＝0時(shí)，原式等于0．∴(a＋b)(an＋bn)≤2(an+1＋bn+1)．


提示：

評(píng)注：本題作差后，通過(guò)展開(kāi)，重新分組，提取公因式，因式分解成兩個(gè)因式之積的形式，因式中含有參數(shù)，為達(dá)到定號(hào)的目的，須對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a＞0，b＞0，且ab=1，α=a+
4
a
，β=b+
4
b
，則α+β的最小值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，判斷曲線C：
x=2cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)）與直線l：
x=1+2t
y=1-t
（t為參數(shù)）是否有公共點(diǎn)，并證明你的結(jié)論．
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求證：
1
2a+1
+
4
2b+1
≥
9
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•松江區(qū)二模）已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，D（1，0）是它的一個(gè)頂點(diǎn)，
d
=(1，
2
)是它的一條漸近線的一個(gè)方向向量．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)（-3，0）任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn) （A，B都不同于點(diǎn)D），求證：
DA
•
DB
為定值；
（3）對(duì)于雙曲線Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E為它的右頂點(diǎn)，M，N為雙曲線Γ上的兩點(diǎn)（都不同于點(diǎn)E），且EM⊥EN，那么直線MN是否過(guò)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由．然后在以下三個(gè)情形中選擇一個(gè)，寫(xiě)出類(lèi)似結(jié)論（不要求書(shū)寫(xiě)求解或證明過(guò)程）．
情形一：雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左頂點(diǎn)；
情形二：拋物線y2=2px（p＞0）及它的頂點(diǎn)；
情形三：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)及它的頂點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a＞0，b＞0，a+b=1，則a+
1
a
+b+
1
b
的最小值為
5
5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：松江區(qū)二模 題型：解答題

已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，D（1，0）是它的一個(gè)頂點(diǎn)，
d
=(1，
2
)是它的一條漸近線的一個(gè)方向向量．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)（-3，0）任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn) （A，B都不同于點(diǎn)D），求證：
DA
•
DB
為定值；
（3）對(duì)于雙曲線Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E為它的右頂點(diǎn)，M，N為雙曲線Γ上的兩點(diǎn)（都不同于點(diǎn)E），且EM⊥EN，那么直線MN是否過(guò)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由．然后在以下三個(gè)情形中選擇一個(gè)，寫(xiě)出類(lèi)似結(jié)論（不要求書(shū)寫(xiě)求解或證明過(guò)程）．
情形一：雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左頂點(diǎn)；
情形二：拋物線y2=2px（p＞0）及它的頂點(diǎn)；
情形三：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)及它的頂點(diǎn)．

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