Question

在雙曲線的一支上不同的三點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（，6）、C（x₂，y₂）與焦點(diǎn)F（0，5）的距離成等差數(shù)列．
（1）求y₁+y₂；
（2）證明線段AC的垂直平分線經(jīng)過某一定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由雙曲線的焦半徑公式可知|AF|=，|BF|=，|CF|=，再由|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列，可求出y₁+y₂的值．
（2）借助點(diǎn)差法求出AC的垂直平分線方程為，由此可以得到不論為何值，直線恒過定點(diǎn)．
解答：解：（1）由題設(shè)知，A、B、C在雙曲線的同一支上，且y₁，y₂均大于0，
∴由雙曲線的焦半徑公式可知|AF|=，|BF|=，|CF|=，
∵|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列，∴，
∴y₁+y₂=12．
（2）證明：∵A，C在雙曲線上，∴，且．兩式相減得，
于是AC的垂直平分線方程為，即，
∴y=-．
∴不論為何值，直線恒過定點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的性質(zhì)及其運(yùn)用，解題時(shí)要注意點(diǎn)差法的合理應(yīng)用．