Question

已知數(shù)列，滿足，，

（1）已知，求數(shù)列所滿足的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；

（3）己知，設(shè)＝，常數(shù),若數(shù)列是等差數(shù)列，記，求.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）這屬于數(shù)列的綜合問題，我們只能從已知條件出發(fā)進(jìn)行推理，以向結(jié)論靠攏，由已知可得，從而當(dāng)時(shí)有結(jié)論

，很幸運(yùn)，此式左邊正好是，則此我們得到了數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)的差，那么為了求，可以采取累加的方法（也可引進(jìn)新數(shù)列）求得，注意這里有，對(duì)要另外求得；（2）有了第（1）小題，那么求就方便多了，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014050405295358471758/SYS201405040532007722868113_DA.files/image015.png">，這里不再累贅不；（3）在（2）基礎(chǔ)上有，我們只有求出才能求出，這里可利用等差數(shù)列的性質(zhì)，其通項(xiàng)公式為的一次函數(shù)（當(dāng)然也可用等差數(shù)列的定義）求出，從而得到，那么和的求法大家應(yīng)該知道是乘公比錯(cuò)位相減法，借助已知極限可求出極限.

試題解析：(1)，

．

當(dāng)時(shí)，有．

又，，

．

數(shù)列的遞推公式是.

于是，有．

∴.

（說(shuō)明：這里也可利用，依據(jù)遞推，得

）

由（1）得，

又，可求得．

當(dāng)時(shí)，，符合公式．

數(shù)列的通項(xiàng)公式．

 (3)由(2)知，，．又是等差數(shù)列，

因此，當(dāng)且僅當(dāng)是關(guān)于的一次函數(shù)或常值函數(shù)，即()．

于是，，

，

．

所以，．

考點(diǎn)：（1）數(shù)列綜合題與通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列通項(xiàng)公式；（3）等差數(shù)列的性質(zhì)，借位相減法，極限.