Question

對于函數(shù)若存在,使得成立,則稱為的不動點(diǎn).

已知

(1)當(dāng)時,求函數(shù)的不動點(diǎn);

(2)若對任意實(shí)數(shù),函數(shù)恒有兩個相異的不動點(diǎn),求的取值范圍;

(3)在(2)的條件下,若圖象上、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動點(diǎn),且、兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱,求的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）-1和3;（2）；（3）．

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)不動點(diǎn)的定義，本題實(shí)質(zhì)是求方程即的解；（2）函數(shù)恒有兩個相異的不動點(diǎn)即方程恒有兩個不等實(shí)根，對應(yīng)的判別式恒成立；（3）、兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，可用的結(jié)論有：①直線AB與直線垂直，即斜率互為負(fù)倒數(shù)；②線段AB的中點(diǎn)在直線上．注意不動點(diǎn)A、B所在直線AB的斜率為1．

試題解析： (1)時,,

 

函數(shù)的不動點(diǎn)為-1和3;

(2)即有兩個不等實(shí)根,轉(zhuǎn)化為有兩個不等實(shí)根,需有判別式大于0恒成立

即,

的取值范圍為;

(3)設(shè),則,

的中點(diǎn)的坐標(biāo)為,即

兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱,

又因?yàn)?img src="http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014041604380871874042/SYS201404160439523125519527_DA.files/image022.png">在直線上, ,

的中點(diǎn)在直線上,

利用基本不等式可得當(dāng)且僅當(dāng)時,b的最小值為.

考點(diǎn)：（1）解方程；（2）二次方程有兩個不等實(shí)根的條件；（3）直線的對稱點(diǎn)問題及最小值問題．