Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=2a_n-1+2ⁿ+2（n≥2），a₁=2．
①求a₂，a₃，a₄；
②是否存在一個實數(shù)λ，使得數(shù)列成等差數(shù)列，若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由；
③求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：①直接根據(jù)條件a_n=2a_n-1+2ⁿ+2（n≥2），a₁=2把n=2，3，4代入即可求解；
②先假設(shè)其存在，然后根據(jù)等差數(shù)列對應(yīng)的相鄰兩項的差為常數(shù)即可求出λ的值；
③先根據(jù)②的結(jié)論求出數(shù)列{a_n}的通項公式，再借助于分組求和以及錯位相減求和即可求出結(jié)論．
解答：解：①a₂=2×2+2²+2=10；
a₃=2×10+2³+2=30；
a₄=2×30+2⁴+2=78．
②假設(shè)存在一個實數(shù)λ，使數(shù)列成等差數(shù)列，
則===恒為常數(shù)
∴2-λ=0即  λ=2
此時 ，
∴λ=2時，數(shù)列是首項為2，公差為1的等差數(shù)列．
③由②得
得a_n=（n+1）2ⁿ-2
所以：S_n=（2×2¹-2）+（3×2²-2）+（4×2³-2）+…+[（n+1）2ⁿ-2]
=[2×2¹+3×2²+4×2³+…+（n+1）2ⁿ]-2n
令 m=2×2¹+3×2²+4×2³+…+（n+1）2ⁿ…①
2m=2×2²+3×2³+4×2⁴+…+（n+1）2ⁿ⁺¹…②
①--②得：-m=2×2¹+（2²+2³+…+2ⁿ）-（n+1）2ⁿ⁺¹=
得m=n×2ⁿ⁺¹
∴S_n=n×2ⁿ⁺¹-2n
點評：本題主要考察利用數(shù)列的遞推式求數(shù)列的特定項以及數(shù)列的求和問題．本題涉及到數(shù)列求和的分組法以及錯位相減法，錯位相減法適用于一等差數(shù)列與一等比數(shù)列相乘組成的新數(shù)列．