Question

已知拋物線點(diǎn)的坐標(biāo)為（12，8），N點(diǎn)在拋物線C上，且滿足，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）求拋物線C的方程；
（II）以M點(diǎn)為起點(diǎn)的任意兩條射線l₁，l₂的斜率乘積為l，并且l₁與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，l₂與拋物線C交于D、E兩點(diǎn)，線段AB、DE的中點(diǎn)分別為G、H兩點(diǎn)．求證：直線GH過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用向量線段即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，代入拋物線C的方程即可得到p的值，從而得到拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l₁，l₂，的方程，與拋物線C的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得到中點(diǎn)G，H的坐標(biāo)，從而得到直線GH的方程，令y=0，只要x是一個(gè)常數(shù)即可．
解答：解：（Ⅰ）∵，點(diǎn)M（12，8），∴，即N（9，6）．
又∵點(diǎn)N在拋物線C上，∴6²=18p，解得p=2．
∴拋物線C的方程為y²=4x．
（Ⅱ）由題意可知：直線l₁，l₂的斜率存在且不為0，
設(shè)l₁：y=k（x-12）+8，則l₂：．
由得到ky²-4y+32-48k=0，
是A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則．
又y₁+y₂=k（x₁+x₂-24）+16，
∴x₁+x₂=，
∴線段AB的中點(diǎn)G．
用代替k即可得到點(diǎn)H（2k²-8k+12，2k）．
∴k_GH===．

∴直線GH：，
令y=0，得到x=10．
∴直線GH過定點(diǎn)（10，0）．
點(diǎn)評：熟練掌握向量的運(yùn)算法則、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線相交問題、根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式、點(diǎn)斜式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式是解題的關(guān)鍵．