Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，求證：；

（3）設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)常數(shù)，試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義可知，解得切點(diǎn)；

（2）將所證明不等式轉(zhuǎn)化為證明恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)證明；

（3）等價(jià)于，等價(jià)于，且，令，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)的極小值0，極大值，討論當(dāng)，，，時(shí)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

（1）．所以過(guò)點(diǎn)的切線方程為，所以，

解得或．

（2）證明：即證，因?yàn)?/span>，所以即證，

設(shè)，則．

令，解得．

		4
	-	0	+
	減	極小	增

所以 當(dāng)時(shí)，取得最小值．

所以當(dāng)時(shí)，．

（3）解：等價(jià)于，等價(jià)于，且．

令，則．

令，得或，

		1
	-	0	+	0	-
	減	極小0	增	極大	減

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，所以無(wú)零點(diǎn)，即定義域內(nèi)無(wú)零點(diǎn)

（Ⅱ）當(dāng)即時(shí)，若，因?yàn)?/span>，

，所以在只有一個(gè)零點(diǎn)，

而當(dāng)時(shí)，，所以只有一個(gè)零點(diǎn)；

（Ⅲ）當(dāng)即時(shí)，由（Ⅱ）知在只有一個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，所以恰好有兩個(gè)零點(diǎn)；

（Ⅳ）當(dāng)即時(shí)，由（Ⅱ）、（Ⅲ）知在只有一個(gè)零點(diǎn)，在只有一個(gè)零點(diǎn)，在時(shí)，因?yàn)?/span>，

只要比較與的大小，即只要比較與的大小，

令，

因?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，所以，

所以，

即，所以，即在也只有一解，所以有三個(gè)零點(diǎn)；

綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3．