Question

17．P是邊長(zhǎng)為a的正三角ABC所在平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC=a，E、F是AB和PC的中點(diǎn)，則異面直線PA與EF所成的角為（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 過(guò)F做FG∥PA，交AC于G，則∠EFG是PA與EF所成的角的平面角（或所成角的補(bǔ)角），由此利用余弦定理能求出異面直線PA與EF所成的角．

解答 解：如圖，∵P是邊長(zhǎng)為a的正三角ABC所在平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC=a，E、F是AB和PC的中點(diǎn)，
在△PEC中，PE=CE=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，PC=a，
∴PC的中線EF=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}a}{2}）^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
過(guò)F做FG∥PA，交AC于G，則∠EFG是PA與EF所成的角的平面角（或所成角的補(bǔ)角），
連接EG，在△EFG中，∵FG=$\frac{1}{2}PA=\frac{1}{2}a$，EG=$\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}a$，EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∴EG²+FG²=EF²，∴EG⊥FG，EG=FG，
∴∠EFG=45°，即異面直線PA與EF所成的角為45°．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意余弦定理的合理運(yùn)用．