Question

某校4名同學(xué)利用假期到甲、乙、丙三個(gè)社區(qū)參加社會(huì)實(shí)踐，每人只能選擇一個(gè)社區(qū)且選擇互不影響．
（Ⅰ）求每個(gè)社區(qū)都有同學(xué)選擇的概率；
（Ⅱ）設(shè)隨機(jī)變量ξ為4名同學(xué)中選擇甲社區(qū)的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）根據(jù)排列組合知識(shí)求解，每個(gè)社區(qū)都有同學(xué)選擇的概率

36

81

=

4

9

；（2）確定隨機(jī)變量ξ為4名同學(xué)中選擇甲社區(qū)的人數(shù)為0，1，2，3，4，P（ξ=0），
P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4）．

解答： 解：（1）某校4名同學(xué)利用假期到甲、乙、丙三個(gè)社區(qū)參加社會(huì)實(shí)踐，
每人只能選擇一個(gè)社區(qū)且選擇互不影響．
∴共有3⁴=81種結(jié)果，
∵每個(gè)社區(qū)都有同學(xué)選擇；

C

2 4

A

3 3

=36種，
∴每個(gè)社區(qū)都有同學(xué)選擇的概率

36

81

=

4

9

；
（2）設(shè)隨機(jī)變量ξ為4名同學(xué)中選擇甲社區(qū)的人數(shù)為0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=

16

81

，
P（ξ=1）=

C 1 4 •23

81

=

32

81

，
P（ξ=2）=

C 2 4 •22

81

=

24

81

，
P（ξ=3）=

C 3 4 •2

81

=

8

81

，
P（ξ=4）=

1

81

，

ξ	0	1	2	3	4
p	16 81	32 81	24 81	8 81	1 81

數(shù)學(xué)期望：E_ξ=0×

16

81

+1×

32

81

+2×

24

81

+3×

8

81

+4×

1

81

=

96

81

，

點(diǎn)評：本題考查了離散型的概率分布，數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題．