Question

11．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是A₁A、A₁B₁的中點，求EF與平面A₁ACC₁所成的角．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出EF與平面A₁ACC₁所成的角的大小．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為2，
則E（2，0，1），F(xiàn)（2，1，2），A（2，0，0），C（0，2，0），A₁（2，0，2），
$\overrightarrow{EF}$=（0，1，1），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，2），$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），
設平面A₁ACC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
設EF與平面A₁ACC₁所成的角為θ，
則sinθ=|$\frac{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$|=$\frac{1}{2}$，
∴θ=30°．
∴EF與平面A₁ACC₁所成的角為30°．

點評 本題考查線面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．