Question

設(shè)m＞3，對于有窮數(shù)列{a_n}（n=1，2，…，m）），令b_k為a₁，a₂，…a_k中的最大值，稱數(shù)列{b_n}為{a_n}的“創(chuàng)新數(shù)列”．?dāng)?shù)列{b_n}中不相等項的個數(shù)稱為{a_n}的“創(chuàng)新階數(shù)”．例如數(shù)列2，1，3，7，5的創(chuàng)新數(shù)列為2，2，3，7，7，創(chuàng)新階數(shù)為3．考察自然數(shù)1，2，…m（m＞3）的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數(shù)列{C_n}．
（1）若m=5，寫出創(chuàng)新數(shù)列為3，4，4，5，5的所有數(shù)列{C_n}；
（2）是否存在數(shù)列{C_n}，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出所有的數(shù){C_n}，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意，創(chuàng)新數(shù)列為3，4，4，5，5的數(shù)列{c_n}有兩個，即：
①數(shù)列3，4，1，5，2；
②數(shù)列3，4，2，5，1．
（2）假設(shè)存在數(shù)列{c_n}，它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列．
設(shè)數(shù)列{C_n}的創(chuàng)新數(shù)列為{e_n}（n=1，2，…m），
因為e_m為，c₁，c₂…c_m中的最大值．
所以e_m=m．由題意知：e_k為c₁，c₂，…c_k中最大值，
e_k+1為c₁，c₂，…，e_k，e_k+1中最大值，
所以e_k≤e_k+1，且e_k∈{，2，…，m}．
若{e_n}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，
則d=e_k+1-e_k≥0，且d∈N，
當(dāng)d=0時，{e_n}為常數(shù)列，又e_m=m，
所以數(shù)列{e_n}為m，m，…，m，
此時數(shù)列{c_n}是首項為m的任意一個符合條件的數(shù)列；
當(dāng)d=1時，因為e_m=m，所以數(shù)列{e_n}為1，2，3，…，m，
此時數(shù)列{c_n}是1，2，3，…，m；
當(dāng)d≥2時，因為e_m=e₁+（m-1）d≥e₁+（m-1）×2=2m-2+e₁，
又m＞3，e₁＞0，所以e_m＞m，這與e_m=m矛盾，所以此時{e_n}不存在，
即不存在{c_n}使得它的創(chuàng)新數(shù)列為d≥2的等差數(shù)列．
綜上，當(dāng)數(shù)列{c_n}為：1°首項為m的任意符合條件的數(shù)列；
2°數(shù)列1，2，3，…，m時，它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列．
分析：根據(jù)令b_k為a₁，a₂，…a_k中的最大值，稱數(shù)列{b_n}為{a_n}的“創(chuàng)新數(shù)列”，
（1）創(chuàng)新數(shù)列為3，4，4，5，5的所有數(shù)列{C_n}，可知其首項是3，第二項是4，第三項是1或2，第四項是5，第五項是2或1，可寫出{C_n}；
（2）假設(shè)存在數(shù)列{C_n}，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)創(chuàng)新數(shù)列的定義和等差數(shù)列的定義，分類討論可求得{C_n}．
點評：考查學(xué)生理解數(shù)列概念，靈活運用數(shù)列表示法的能力，旨在考查學(xué)生的觀察分析和歸納能力，特別是問題（2）的設(shè)置，增加了題目的難度，同時也考查了等差數(shù)列的定義和分類討論的思想，屬難題．