Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax+2（其中a為常數(shù)）有極大值18．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）過原點的切線與函數(shù)g（x）=2bx²-7x-3-b在[-1，1]上的圖象有交點，試求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先對函數(shù)求導(dǎo)f′（x）=3x²-3a，分a＞0，f′（x）≥0，a＞0則x=±

a

，討論函數(shù)的單調(diào)性，進而求解函數(shù)的極值，從而可求a
（II）由題意可求切線方程y=-9x，由

y=-9x y=2bx2-7x-3-b

，在[-1，1]上的圖象有交點，說明函數(shù)得函數(shù)h（x）=2bx²+2x-3-b在區(qū)間[-1，1]上有零點，利用方程的實根分別問題進行求解即可

解答：解：（1）f′（x）=3x²-3a
若a＜0則可得f′（x）≥0，不合題意
若a＞0則x=±

a

可得f(-

a

)=18∴a=4
（II）設(shè)切點為（x₀，y₀）而f（x）=x³-12x+2
故

f′(x0)=3 x 2 0 -12= y0 x0 y0= x 3 0 -12x0+2

，則

x0=1 y0=-9

，故切線為y=-9x
由題意得

y=-9x y=2bx2-7x-3-b

，說明函數(shù)h（x）=2bx²+2x-3-b在區(qū)間[-1，1]上有零點
若b=0，則函數(shù)h（x）=2x-3在[-1，1]上沒有零點
若a≠0，時分三種情況討論：
①方程h（x）=0在區(qū)間[-1，1]上有重根，此時△=4（2b²+6b+1）=0，解得b=

-3± 7

2

當(dāng)b=

-3- 7

2

時，h（x）=0的重根x=

3- 7

2

∈[-1，1]
當(dāng)b=

-3+ 7

2

時，h（x）=0的重根x=

3+ 7

2

∉[-1，1]
故當(dāng)方程h（x）=0在區(qū)間[-1，1]上有重根時，b=

-3- 7

2

②h（x）在區(qū)間[-1，1]上只有一個零點且不是h（x）=0的重根
此時有h（-1）h（1）≤0∵h（-1）=b-5，h（1）=b-1∴（b-5）（b-1）≤0?1≤b≤5
∵當(dāng)b=5時，方程h（x）=0在區(qū)間[-1，1]上有兩個不同的實根
故當(dāng)方程h（x）=0在區(qū)間[-1，1]上只有一個根且不是重根時，1≤b＜5
③方程h（x）=0在區(qū)間[-1，1]有兩個不同的實根，則

△=4(2b2+6b+1)＞0 h(1)•h(-1)=(b-1)(b-5)≥0 -1＜- 2 4b ＜1

b＜

-3- 7

2

或b≥5
綜上可得，b的取值范圍(-∞，

-3- 7

2

)∪[1，+∞)

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求解函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用方程的實根分布進行求解．