Question

已知四棱錐P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，PB=BC=CD=

1

2

AB．Q是PC上的一點，且PA∥平面QBD．
（1）確定Q的位置；
（2）求二面角Q-BD-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間角,空間向量及應用

分析：（1）當PQ=2QC時，PA∥平面QBD，再利用空間幾何知識進行證明；
（2）設BC=1，以B為坐標原點，以BC，BA，BP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，利用向量法能求出二面角Q-BD-C的平面角的余弦值．

解答： 解：（1）當PQ=2QC時，PA∥平面QBD，證明如下：
連結AC交BD于點M，
∵2CD=AB，CD∥AB，
∴AM=2MC
過PA的平面PAC∩平面QBD=MQ，
∵PA∥平面QBD，
∴AP∥MQ，
∴PQ=2QC．
（2）設BC=1，如圖，以B為坐標原點，以BC，BA，BP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系O-xyz（其中點B與點O重合），則C（1，0，0），A（0，2，0），D（1，1，0），P（0，0，1）．
∵PQ=2QC，∴Q（

2

3

，0，

1

3

），
∴

BQ

=(

2

3

，0，

1

3

)，

DQ

=(-

1

3

，-1，

1

3

)，
設平而QBD的一個法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，
則

n1 • BQ = 2 3 x1+ 1 3 z1=0 n1 • DQ =- 1 3 x1-y1+ 1 3 z1=0

，
取x₁=1，得

n1

=(1，-1，-2)．
又平面CBD的一個法向量為

n2

=(0，0，1)，
設二面角Q-BD-C的平面角為θ，又θ為銳角
∴cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

-2

6 ×1

|=

6

3

．
∴二面角Q-BD-C的平面角的余弦值

6

3

．

點評：本題考查滿足條件的點的確定，考查二面角的平面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．