Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（ax²-2x）e^-x（a＜0），其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的極值點；
（2）設(shè)f（x）在[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=[-ax²+2（a+1）x-2]e^-x，再求相應(yīng)方程的根，并確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)f（x）的極值點；
（2）因為f′（0）=-2＜0，所以f（x）在[-1，1]上是單調(diào)減函數(shù)，所以f′（x）≤0在x∈[-1，1]上恒成立，即-ax²+2（a+1）x-2≤0在x∈[-1，1]上恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=-ax²+2（a+1）x-2，可求a的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=[-ax²+2（a+1）x-2]e^-x，
由f′(x)=0⇒x1=

a+1+ a2+1

a

，x2=

a+1- a2+1

a

，
∵a＜0
∴函數(shù)在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上單調(diào)增，在（x₁，x₂）上單調(diào)減，
∴x₁是極大值點，x₂是極小值點．
（2）因為f′（0）=-2＜0，所以f（x）在[-1，1]上是單調(diào)減函數(shù)，
所以f′（x）≤0在x∈[-1，1]上恒成立，
即-ax²+2（a+1）x-2≤0在x∈[-1，1]上恒成立，
∵a＜0
∴-1≤x₁＜x₂≤1
設(shè)g（x）=-ax²+2（a+1）x-2
∴

g(-1)≤0 g(1)≤0

∴

-a-2(a+1)-2≤0 -a+2(a+1)-2≤0

∴-

4

3

≤a≤0
∵a＜0
∴-

4

3

≤a＜0
∴a的取值范圍是a∈[-

4

3

，0)．

點評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的極值，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是運用好導(dǎo)數(shù)工具，合理轉(zhuǎn)化．