Question

（2003•朝陽(yáng)區(qū)一模）如圖，AB是圓臺(tái)上底面⊙O₁的直徑，C是⊙O₁上不同于A、B的一點(diǎn)，D是下底面⊙O₂上的一點(diǎn)，過(guò)D、A、C的截面垂直于下底面，M為DC的中點(diǎn)，AC=AD=2，∠DAC=120°，∠BDC=30°．
（Ⅰ）求證：AM⊥平面DBC；
（Ⅱ）求二面角A-DB-C的正切值；
（Ⅲ）求三棱錐D-ABC的體積．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得BC⊥平面DAC，進(jìn)而B(niǎo)C⊥AM，根據(jù)等腰三角形三線合一，可得AM⊥DC，結(jié)合線面垂直的判定定理可得AM⊥平面DBC；
（Ⅱ）作MN⊥DB于N，連接AN，由三垂線定理可知AN⊥DB．∠MNA是二面角A-DB-C的平面角．解△ADC和△DCB可得答案．
（III）V_{三棱錐D-ABC}=V_{三棱錐A-BCD}，結(jié)合（1）中結(jié)論，代入計(jì)算可得答案．

解答：證明：（I）在△ADC中，AC=AD，M是DC的中點(diǎn)
∴AM⊥DC．…（2分）
∵平面DAC⊥平面ABC，
C為圓O₁上異于A、B的一點(diǎn)，則有BC⊥AC，
又∵平面DAC∩平面ABC=AC，BC?平面ABC
∴BC⊥平面DAC，
又∵AM?平面DAC
BC⊥AM．…（4分）
又

∵

DC∩BC=C，DC，BC?平面DBC
∴AM⊥平面DBC．…（6分）
解：（II）作MN⊥DB于N，連接AN，由三垂線定理可知AN⊥DB．∠MNA是二面角A-DB-C的平面角．…（8分）
在△ADC中，AC=AD=2，∠DAC=120°∴DC=2

3

，AM=1．由BC⊥平面DAC，可知BC⊥DC.在Rt△DCB中，DC=2

3

，∠BDC=30°，可得BC=2，從而MN=

3

2

．
∴tan∠MNA=

AM

MN

=

1

3 2

=

2 3

3

．
∴二面角A-DB-C的正切值為

2 3

3

．…（10分）
解：（III）V_{三棱錐D-ABC}=V_{三棱錐A-BCD}=

1

3

S△BCD•AM=

1

3

×

1

2

×2×2

3

×1=

2

3

3

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，線面垂直，棱錐的體積，是空間立體幾何的綜合應(yīng)用，難度中檔．