Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)f(x)=x2-

1

3

x3
（1）求f（x）的解析式
（2）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)性
（3）設(shè)g（x）是函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的導(dǎo)函數(shù)．若a＞1且g（x）在區(qū)間[

1

2

，a]上的值域?yàn)?span mathtag="math" >[

1

a

，1]，求a的值．

Answer 1

（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)∴f（0）=0（1分）
又∵x＞0時(shí)，f(x)=x2-

1

3

x3
∴當(dāng)x＜0時(shí)-x＞0f(x)=-f(-x)=-(x2+

1

3

x3)
∴f(x)=

x2- 1 3 x3(x≥0) -x2- 1 3 x3(x＜0)

（3分）

（2）由（1）知當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f(x)=-x2-

1

3

x3，∴f'（x）=-2x-x²（4分）
令f'（x）=0得x=-2或x=0
當(dāng)x∈（-∞，-2）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）是減函數(shù)
當(dāng)x∈（-2，0）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)
∴f（x）在區(qū)間（-∞，-2）上是減函，數(shù)在（-2，0）上是增函數(shù)．（7分）

（3）∵當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=x2-

1

3

x3
∴g（x）=f'（x）=2x-x²=-（x-1）²+1
又∵a＞1
∴g（x）在區(qū)間[

1

2

，a]上，當(dāng)x=1時(shí)g（x）取得最大值1．
當(dāng)1＜a≤

3

2

時(shí)，g(x)min=g(

3

2

)=

3

4

，由

3

4

=

1

a

得a=

4

3

∈(1，

3

2

]
當(dāng)a＞

3

2

時(shí)，g（x）_min=g（a）=2a-a²
由2a-a2=

1

a

得a=

1+ 5

2

或a=

1- 5

2

∉(

3

2

，+∞)或a=1∉(

3

2

，+∞)
∴所求的a的值為a=

4

3

或a=

1+ 5

2

（12分）