Question

已知函數(shù)的反函數(shù)為f^-1（x），數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=f^-1（a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足：成等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵=（x≥4），
∴f^-1（x）=（x≥0），
∴a_n+1=f^-1（a_n）=，
即（n∈N*）．
∴數(shù)列是以為首項，公差為2的等差數(shù)列．
∴，即a_n=（2n-1）²（n∈N*）．
（Ⅱ）∵成等比數(shù)列，∴
從而（n∈N*）．
∴S_n=b₁+b₂++b_n=
則
兩式相減得=
∴．
分析：（1）先求原函數(shù)的反函數(shù)，即從原函數(shù)式中反解出x，后再進行x，y互換，即得反函數(shù)的解析式，再利用等差數(shù)列求數(shù)列的通項，最后求出數(shù)列{a_n}的通項．
（2）據(jù)成等比數(shù)列求得數(shù)列{b_n}的通項，再利用錯位相乘法求其前n項和即可．
點評：本題考查反函數(shù)的求法，以及等差數(shù)列等比數(shù)列的通項公式和性質(zhì)，還有錯位相頭減法求數(shù)列的前n項和．屬于中檔題．