如圖2-4-5,已知AB為⊙O直徑,P為AB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線,設(shè)切點(diǎn)為C.

(1)請(qǐng)你連結(jié)AC,作∠APC的平分線,交AC于點(diǎn)D,測(cè)量∠CDP的度數(shù).

(2)當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí),∠CDP的度數(shù)作何變化?請(qǐng)你猜想,并證明.

圖2-4-5

解析:(1)作圖,并測(cè)量,∠CDP=45°.

(2)∠CDP不隨P在AB延長(zhǎng)線上的位置變化而變化,即∠CDP=45°是一個(gè)定值.

證明:連結(jié)BC交PD于E,

∵∠CDP是△ADP的外角,

∴∠CDP=∠A+∠2.

同理,∠CED=∠1+∠3.但∠1=∠2.

又∵BC是弦,PC與⊙O切于C,

∴∠3=∠A.

∴∠CDE=∠CED.∴CD=CE.

∵AB是直徑,∴∠DCE=90°.

∴△CDE是等腰直角三角形.

∴∠CDE=45°.

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