Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)．

(1)判斷其奇偶性;

(2)指出該函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性并證明;

(3)利用(1)和(2)的結(jié)論,指出該函數(shù)在上的增減性.（不用證明）

 

Answer 1

【答案】

（1）是奇函數(shù)；（2）在上是增函數(shù)。（3）由于是上的奇函數(shù)，在上又是增函數(shù)，因而該函數(shù)在上也是增函數(shù)。

【解析】本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，其中掌握函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的定義及判定方法是解答本題的關(guān)鍵．

（1）由已知易判斷出函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，即可根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，進(jìn)行判斷得到結(jié)論；

（2）任取x₁、x₂滿足0＜x₁＜x₂＜1，并做出f（x₁）-f（x₂）的差，利用實(shí)數(shù)的性質(zhì)，判斷出f（x₁）與f（x₂）的大小，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，即可得到答案；

（3）由（1）可得函數(shù)為奇函數(shù)，由（2）可得函數(shù)在（0，1）上為增函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，即可得到答案．

解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111918574656636716/SYS201211191858275195776168_DA.files/image003.png">…………. 2分

是奇函數(shù)…………. 4分

（2）函數(shù)在上是增函數(shù)

證明：設(shè)，則

…………. 8分

，

因此函數(shù)在上是增函數(shù)………. 10分

（3）由于是上的奇函數(shù)，在上又是增函數(shù)，因而該函數(shù)在上

也是增函數(shù)………. 12分