Question

【題目】已知橢圓C：的離心率為，短軸長(zhǎng)為4.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知不經(jīng)過點(diǎn)P（0，2）的直線l：交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，M在AB上滿足且，問直線是否過定點(diǎn)，若過求定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

【答案】（1）（2）直線恒過定點(diǎn)，詳見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意可得，解出方程可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，，根據(jù)向量的關(guān)系以及三角形的性質(zhì)可得為外接圓的直徑，即，根據(jù)點(diǎn)A，B在直線上可得，聯(lián)立直線與橢圓的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理代入可得，解出方程或，代入直線中即可得定點(diǎn).

解：（1）由題意得解得，，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）設(shè)，，

又，所以，，

因?yàn)?/span>在上滿足，所以為的中點(diǎn)．

又，即，

所以線段為外接圓的直徑，

即，

所以．

又在直線上，

所以，

即，

聯(lián)立消得，

因?yàn)橹本�與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，

所以，

即，

由韋達(dá)定理得代入（*）中，得，

解得或，

所以直線：或，

所以直線過定點(diǎn)或（舍去），

綜上所述：直線恒過定點(diǎn)．