已知數(shù)列{an}滿足an+1=.

(Ⅰ)若方程f(x)=x的解稱為函數(shù)y=f(x)的不動點(diǎn),求an+1=f(an)的不動點(diǎn)的值；

(Ⅱ)若a1=2,bn=,求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)．

(Ⅲ)當(dāng)任意nÎN*時(shí)，求證：b1+b2+b3+…+bn<

 

 

【答案】

 (Ⅰ)解：由方程an+1=f(an)得an=,

解得an=0,或an=−1,或an=1    .……2分

(Ⅱ) 解：∵an+1+1=+1=

an+1−1=−1=

兩式相除得=,即bn+1=bn3,

由a1=2可以得到bn>0,則bn+1=3bn,

又b1==,得b1=−3,

數(shù)列{bn}是以−3為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列.

∴bn=(−3)·3n−1=(),

從而bn=() (nÎN*).    ……8分]

(Ⅲ)證明：任意nÎN*,3n−1³n, ∴bn=()£()n,

從而b1+b2+b3+…+bn<+()2+()3+…+()n==[ 1−()n]<.  ……12分

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng)，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項(xiàng)公式
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項(xiàng)的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項(xiàng)公式an等于
2n-1
2n-1
．

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