Question

【題目】在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面平面，是邊長為4的等邊三角形，，是的中點.

（1）求證：；

（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求平面 與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）由面面垂直的性質(zhì)可得平面.可得 ，，結(jié)合得平面.由，可得，得到平面，從而可得結(jié)果；（2）根據(jù)直線與平面所成角的正弦值為,可求得， ，以，，所在的直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求出平面的一個法向量，結(jié)合平面的一個法向量為，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

（1）因為是等邊三角形，是的中點，

所以.

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

所以，

又因為，，

所以平面.所以.

又因為，所以.

又且，平面，所以平面.

所以.

（2）

由（1）得平面.

所以就是直線與平面所成角.

因為直線與平面所成角的正弦值為，即，所以.

所以，解得.則.

由（1）得，，兩兩垂直，所以以為原點，，，所在的直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則點，， ，，

所以，.

令平面的法向量為，則

由得解得

令，可得平面的一個法向量為；

易知平面的一個法向量為，

設(shè)平面與平面所成的銳二面角的大小為，則.

所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.