Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=BC=2，AB=2，CC₁=4，M是棱CC₁上一點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BC⊥AM；
（Ⅱ）若N是AB上一點(diǎn)，且=，求證：CN∥平面AB₁M；
（Ⅲ）若CM=，求二面角A-MB₁-C的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）證明BC⊥AM，可證BC⊥面ACM，由CC₁⊥底面ABC得到BC⊥CM，在三角形ABC中由勾股定理得到AC⊥BC，由線面垂直的判定定理得到BC⊥面ACM，則問(wèn)題得證；
（Ⅱ）過(guò)N作NP∥BB₁交AB₁于P，連結(jié)MP，由已知及三角形相似可證得四邊形MCNP是平行四邊形，從而得到線線平行，進(jìn)一步利用線面平行的判定定理得到線面平行；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知CA，CB，CC₁為三條兩兩相互垂直的直線，以C為原點(diǎn)，CA，CB，CC₁分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求二面角A-MB₁-C的大小．
解答：（Ⅰ）證明：因?yàn)槿�棱柱ABC-A₁B₁C₁中CC₁⊥平面ABC，
所以 CC₁⊥BC．     
因?yàn)锳C=BC=2，AB=，
所以，由勾股定理的逆定理知BC⊥AC． 
又因?yàn)锳C∩CC₁=C，
所以BC⊥平面ACC₁A₁
因?yàn)锳M?平面ACC₁A₁，
所以BC⊥AM；
（Ⅱ）證明：如圖，
過(guò)N作NP∥BB₁交AB₁于P，連結(jié)MP，則
NP∥CC₁，且△ANP∽△ABB₁．
于是有．
由已知，有．
因?yàn)锽B₁=CC₁．
所以NP=CM．
所以四邊形MCNP是平行四邊形．  
所以CN∥MP．   
因?yàn)镃N?平面AB₁M，MP?平面AB₁M，
所以CN∥平面AB₁M；
（Ⅲ）因?yàn)锽C⊥AC，且CC₁⊥平面ABC，
所以以C為原點(diǎn)，CA，CB，CC₁分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系C-xyz．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124419385197518/SYS201310251244193851975015_DA/4.png">，所以C（0，0，0），A（2，0，0），B₁（0，2，4），，
，．
設(shè)平面AMB₁的法向量，
則，即，
令x=5，則y=-3，z=4，即．
又平面MB₁C的一個(gè)法向量是，
所以==．   
由圖可知二面角A-MB₁-C為銳角，
所以二面角A-MB₁-C的大小為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與平面平行的判定，考查了直線與平面垂直的判定，證明的關(guān)鍵是進(jìn)口兩個(gè)判定定理的條件，訓(xùn)練了利用平面法向量求二面角的大小，關(guān)鍵是會(huì)求平面的法向量，是中檔題．