已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一條漸近線過點(2，
3
)，以右焦點F2為圓心作圓與兩條漸近線相切，圓面積恰為12π．
（1）求雙曲線的方程；
（2）任作一直線l與雙曲線右支交于兩點A，B，與漸近線交于兩點C，D，A在B，C兩點之間，求證：|AC|=|BD|．
（1）∵雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一條漸近線過點(2，
3
)，∴
b
a
=
3
2
，
∴一條漸近線方程方程
3
x-2y=0
∵圓面積為12π，∴圓的半徑為2
3

∵以右焦點F2為圓心作圓與兩條漸近線相切
∴
|
3
c|
7
=2
3
，∴c=2
7

∴a2=16，b2=12
∴雙曲線的方程為
x2
16
-
y2
12
=1；
（2）證明：設直線為x=my+n代入雙曲線方程可得（3m2-4）y2+6mny+3n2-48=0
又雙曲線的漸近線方程為
x2
16
-
y2
12
=0，直線方程代入可得（3m2-4）y2+6mny+3n2=0
∵直線l與雙曲線右支交于兩點A，B，與漸近線交于兩點C，D，A在B，C兩點之間，
∴AB、CD 的中點重合
∴|AC|=|BD|．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
7
=1，直線l過其左焦點F1，交雙曲線的左支于A、B兩點，且|AB|=4，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點，△ABF2的周長為20，則此雙曲線的離心率e=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一個焦點與拋物線y2=4x的焦點重合，且該雙曲線的離心率為
5
，則該雙曲線的漸近線方程為（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)，O為坐標原點，離心率e=2，點M(
5
，
3
)在雙曲線上．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點，且
OP
•
OQ
=0．問：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否為定值？若是請求出該定值，若不是請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知直線l：kx-y+1+2k=0（k∈R），則該直線過定點
（-2，1）
（-2，1）
；
（2）已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線方程為y=
4
3
x，則雙曲線的離心率為
5
3
5
3
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）滿足| 
a1
b
2
 |=0，且雙曲線的右焦點與拋物線y2=4
3
x的焦點重合，則該雙曲線的方程為
 
．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案