Question

已知圓錐曲線C：

x=2cosα y= 3 sinα

（α為參數）和定點A（0，

3

），F₁、F₂是此圓錐曲線的左、右焦點，以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求直線AF₂的直角坐標方程；
（2）經過點F₁且與直線AF₂垂直的直線l交此圓錐曲線于M、N兩點，求||MF₁|-|NF₁||的值．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（1）由圓錐曲線C：

x=2cosα y= 3 sinα

（α為參數）化為

x2

4

+

y2

3

=1，可得F₂（1，0），利用截距式即可得出直線AF₂的直角坐標方程．
（2）直線AF₂的斜率為-

3

，可得直線l的斜率為

3

3

．直線l的方程為：

x=-1+ 3 2 t y= 1 2 t

，代入橢圓的方程化為13t2-12

3

t-36=0，t₁+t₂=

12 3

13

，利用||MF₁|-|NF₁||=|t₁+t₂|即可得出．

解答： 解：（1）由圓錐曲線C：

x=2cosα y= 3 sinα

（α為參數）化為

x2

4

+

y2

3

=1，
可得F₂（1，0），
∴直線AF₂的直角坐標方程為：

x

1

+

y

3

=1，化為y=-

3

x+

3

．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
∵直線AF₂的斜率為-

3

，∴直線l的斜率為

3

3

．
∴直線l的方程為：

x=-1+ 3 2 t y= 1 2 t

，
代入橢圓的方程可得：3(-1+

3

2

t)2+4(

1

2

t)2=12，
化為13t2-12

3

t-36=0，
t₁+t₂=

12 3

13

，
∴||MF₁|-|NF₁||=|t₁+t₂|=

12 3

13

．

點評：本題考查了橢圓的參數方程、直線的截距式與參數方程、參數的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．