Question

已知點(diǎn)，直線，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離與到直線的距離相等．

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（2）直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若曲線C上存在點(diǎn)D使得四邊形FABD為平行四邊形，求b的值.

 

Answer 1

（1）；（2）或。

【解析】

試題分析：(1)顯然動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足拋物線的定義，故用定義去求軌跡方程；（2）法一：由題意知，故設(shè)直線FD的方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再由拋物線的定義求出，把直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，再由弦長(zhǎng)公式求出的長(zhǎng)，是用來(lái)表示的，然后令，可得關(guān)于的方程，從而求出的值；法二：同法一一樣先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再把直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)和與積， 又因?yàn)樗倪呅蜦ABD是平行四邊形，所以，由此可得兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理得到的結(jié)論找到一個(gè)關(guān)于的方程，

解方程即可，需根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行分情況討論。

試題解析：（1）依題意，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線,

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為

（2）解法一：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719532365369172/SYS201411171953287319129193_DA/SYS201411171953287319129193_DA.018.png">，故直線FD的方程為,

聯(lián)立方程組消元得：，

解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或 , 由拋物線定義知或

又由 消元得：。

設(shè)，，則且,

所以

因?yàn)镕ABD為平行四邊形，所以 所以或，

解得或，代入成立。

（2）解法二：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719532365369172/SYS201411171953287319129193_DA/SYS201411171953287319129193_DA.018.png">，故直線FD的方程為

聯(lián)立方程組消元得：，解得或

故點(diǎn)或.

1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，

聯(lián)立方程組消元得（*）

根據(jù)韋達(dá)定理有①， ②

又因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅�，所�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719532365369172/SYS201411171953287319129193_DA/SYS201411171953287319129193_DA.014.png">，將坐標(biāo)代入有 ③

代入①有，，再代入②有

整理得此時(shí)（*）的判別式,符合題意.

2）當(dāng)時(shí)，同理可解得。

考點(diǎn)：（1）拋物線的定義；（2）直線與拋物線的位置關(guān)系；（3）弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用；（4）向量加法的平行四邊形法則；（5）韋達(dá)定理的應(yīng)用。