5．設(shè)i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)．試用數(shù)學(xué)歸納法證明（cosx+isinx）n=cosnx+isinnx．

分析 利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明．

解答 解：①當(dāng)n=1時，左邊=cosx+isinx=右邊，此時等式成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，即（cosx+isinx）k=coskx+isinkx．
則當(dāng)n=k+1時，（cosx+isinx）k+1=（cosx+isinx）k（cosx+sinx）
=（coskx+isinkx）（cosx+isinx）=coskxcosx-sinkxsinx+（coskxsinx+sinkxcosx）i
=cos[（k+1）x]+isin[（k+1）x]，
∴當(dāng)n=k+1時，等式成立．
由①②得，（cosx+isinx）n=cosnx+isinnx．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法和三角函數(shù)的兩角和差的正弦余弦公式，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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15．已知函數(shù)$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+a+1$．
（1）若$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$且a=1時，求f（x）的最大值和最小值．
（2）若x∈[0，π]且a=-1時，方程f（x）=b有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2，求b的取值范圍及x1+x2的值．

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16．把病人送到醫(yī)院看病的過程用框圖表示，則此框圖稱為（　�。�
A．工序流程圖B．程序流程圖C．組織流程圖D．程序步驟圖

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13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2，AD=CD=1，E是線段PB的中點(diǎn)．
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20．如圖在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C是矩形，且側(cè)面AA1C1C⊥底面AA1B1B，M是AB的中點(diǎn)，若AA1=2，AC=1，∠A1AB=60°，CB1⊥A1B．
（1）求證：AC1∥平面CMB1；
（2）求三棱錐M-CC1B1的體積．

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10．已知點(diǎn)P（tanα，cosα）在第三象限，則角α的終邊在（　�。�
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限

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17．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，O坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F直徑的圓與雙曲線的一條漸近線相交于O，A兩點(diǎn)，且|OA|=2|AF|，則雙曲線的離心率等于（　�。�
A．$\sqrt{3}$B．$\sqrt{5}$C．$\frac{3}{2}$D．$\frac{\sqrt{5}}{2}$

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14．下列框圖中是流程圖的是（　�。�
A．B．
C．D．

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15．已知定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)f（x），對?x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log2x]=3，則方程f（x）-f′（x）=2的解所在的區(qū)間是（　�。�
A．（0，$\frac{1}{2}$）B．（1，2）C．（$\frac{1}{2}$，1）D．（2，3）

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