Question

如圖，已知點(diǎn)A（

3

，0），B（0，1），圓C是以AB為直徑的圓，直線l：

x=tcosφ y=-1+tsinφ

，（t為參數(shù)）．
（1）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）過原點(diǎn)O作直線l的垂線，垂足為H，若動(dòng)點(diǎn)M0滿足2

OM

=3

OH

，當(dāng)φ變化時(shí)，求點(diǎn)M軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線．

Answer 1

分析：（1）由條件求得圓的直角坐標(biāo)方程為 (x-

3

2

)2+(y-

1

2

)2=1，由于OC和x軸的正方向的夾角為

π

6

，在圓上任意取一點(diǎn)M（ρ，θ），則 ρ=2•cos（θ-

π

6

）即為所求．
（2）由條件可得直線l的普通方程為xsinφ-ycosφ-cosφ=0，由于2

OM

=3

OH

，可得 M（

3

4

sin2φ，-

3

4

-

3

4

cos2φ），由此得到點(diǎn)M軌跡的參數(shù)方程．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（

3

，0），B（0，1），圓C是以AB為直徑的圓，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

3

2

，

1

2

），半徑等于

1

2

|AB|=1，
故圓的方程為 (x-

3

2

)2+(y-

1

2

)2=1．  （2’）
由于OC和x軸的正方向的夾角為

π

6

，在圓上任意取一點(diǎn)M（ρ，θ），則 ρ=2•cos（θ-

π

6

 ），
故圓的極坐標(biāo)方程為 ρ=2•cos（θ-

π

6

）．         （4’）
（2）直線l的普通方程為xsinφ-ycosφ-cosφ=0，（5’）
點(diǎn) H（

1

2

sin2φ，-

1

2

-

1

2

cos2φ）．   （7’）
由于2

OM

=3

OH

，∴M（

3

4

sin2φ，-

3

4

-

3

4

cos2φ），（9’）
∴點(diǎn)M軌跡的參數(shù)方程為  

x= 3 4 sin2φ y=- 3 4 - 3 4 cos2φ

，φ為參數(shù)，圖形為圓．       （10’）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，圓的參數(shù)方程，簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，屬于基礎(chǔ)題．