【題目】已知橢圓的左焦點為F,點
,過M的直線與橢圓E交于A,B兩點,線段AB中點為C,設(shè)橢圓E在A,B兩點處的切線相交于點P,O為坐標原點.
(1)證明:O、C、P三點共線;
(2)已知是拋物線
的弦,所在直線過該拋物線的準線與y軸的交點,
是弦
在兩端點處的切線的交點,小明同學猜想:
在定直線上.你認為小明猜想合理嗎?若合理,請寫出
所在直線方程;若不合理,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析; (2)合理,在直線
上
【解析】
(1)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立橢圓方程,根據(jù)韋達定理,利用導數(shù)求得任一點處切線的斜率,從而解得切線方程
,得到點
的坐標,由
即可容易判斷;
(2)聯(lián)立的方程和拋物線方程,利用導數(shù)求得
處的切線方程,結(jié)合已知條件,即可容易證明.
(1)設(shè),
,直線AB的方程為
.
聯(lián)立
,消去x整理得
,
由﹐得
或
,
由橢圓對稱性,設(shè)是橢圓
在x軸上方的任意一點,
則由,
得
﹐
所以在處的切線斜率為
,
故在處切線方程為
,
結(jié)合化簡得
切線PA方程為:,同理
,
聯(lián)立兩切線方程消去y得,
聯(lián)立解得
,
由AB中點及
可得
,
、C、P三點共線.
(2)合理,在直線
上.
證明如下:設(shè),
,
直線斜率一定存在,
聯(lián)立消去y得
,
,
由得
,
.
拋物線在
處的切線方程為
,
同理在處的切線方程為
聯(lián)立解得
,
故在直線
上.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知曲線的參數(shù)方程為:
(
為參數(shù)),
的參數(shù)方程為:
(
為參數(shù)).
(1)化、
的參數(shù)方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線;
(2)若直線的極坐標方程為:
,曲線
上的點
對應的參數(shù)
,曲線
上的點
對應的參數(shù)
,求
的中點
到直線
的距離.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以坐標原點為極點,
軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線
的極坐標方程為
.
(Ⅰ)求直線的普通方程和曲線
的直角坐標方程;
(Ⅱ)設(shè)為曲線
上的點,
,垂足為
,若
的最小值為
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在
,
上單調(diào)遞增,求實數(shù)
的取值范圍;
(2)若函數(shù)在
處的切線平行于
軸,是否存在整數(shù)
,使不等式
在
時恒成立?若存在,求出
的最大值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線和
軸上的定點
,過拋物線焦點作一條直線交
于
、
兩點,連接
并延長,交
于
、
兩點.
(1)求證:直線過定點;
(2)求直線與直線
最大夾角為
,求
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|3x+2|.
(1)解不等式f(x)<4-|x-1|;
(2)已知m+n=1(m,n>0),若|x-a|-f(x)≤(a>0)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,點O是對角線AC與BD的交點,AB=2,∠BAD=60°,M是PD的中點.
(Ⅰ)求證:OM∥平面PAB;
(Ⅱ)平面PBD⊥平面PAC;
(Ⅲ)當三棱錐C﹣PBD的體積等于 時,求PA的長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,垂直于
所在的平面
,
為
的直徑,
是弧
上的一個動點(不與端點
重合),
為
上一點,且
是線段
上的一個動點(不與端點
重合).
(1)求證:平面
;
(2)若是弧
的中點,
是銳角,且三棱錐
的體積為
,求
的值.
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