【題目】已知點是拋物線的頂點,,是上的兩個動點,且.
(1)判斷點是否在直線上?說明理由;
(2)設(shè)點是△的外接圓的圓心,求點的軌跡方程.
【答案】(1)點在直線上,理由見解析(2)
【解析】
(1)由拋物線的方程可得頂點的坐標,設(shè)直線的方程,與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積,求出數(shù)量積,再由題意可得直線恒過,即得在直線上;
(2)設(shè),的坐標,可得直線,的斜率及線段,的中點坐標,進而求出線段,的中垂線的方程,兩個方程聯(lián)立求出外接圓的圓心的坐標,由(1)可得的橫縱坐標關(guān)于參數(shù)的表達式,消參數(shù)可得的軌跡方程.
(1) 點在直線上.理由如下,
由題意, 拋物線的頂點為
因為直線與拋物線有2個交點,
所以設(shè)直線AB的方程為
聯(lián)立得到,
其中,
所以,
因為
所以
,
所以,
解得,
經(jīng)檢驗,滿足,
所以直線AB的方程為,恒過定點.
(2)因為點是的外接圓的圓心,所以點是三角形三條邊的中垂線的交點,
設(shè)線段的中點為,線段的中點為為,
因為,設(shè),,,
所以,,,,,,
所以線段的中垂線的方程為:,
因為在拋物線上,所以,
的中垂線的方程為:,即,
同理可得線段的中垂線的方程為:,
聯(lián)立兩個方程,解得,
由(1)可得,,
所以,,
即點,所以,
即點的軌跡方程為:.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】十九大指出中國的電動汽車革命早已展開,通過以新能源汽車替代汽/柴油車,中國正在大力實施一項將重塑全球汽車行業(yè)的計劃.2018年某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備,通過市場分析,全年需投入固定成本2500萬元,每生產(chǎn)x(百輛),需另投入成本萬元,且.由市場調(diào)研知,每輛車售價5萬元,且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當年能全部銷售完.
(1)求出2018年的利潤L(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(百輛)的函數(shù)關(guān)系式;(利潤=銷售額-成本)
(2)2018年產(chǎn)量為多少百輛時,企業(yè)所獲利潤最大?并求出最大利潤.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當時,若,恒成立,求實數(shù)的最小值.
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【題目】設(shè)數(shù)組,,,數(shù)稱為數(shù)組的元素.對于數(shù)組,規(guī)定:
①數(shù)組中所有元素的和為;
②變換,將數(shù)組變換成數(shù)組,其中表示不超過的最大整數(shù);
③若數(shù)組,則當且僅當時,.
如果對數(shù)組中任意個元素,存在一種分法,可將其分為兩組,每組個元素,使得兩組所有元素的和相等,則稱數(shù)組具有性質(zhì).
(Ⅰ)已知數(shù)組,,計算,,并寫出數(shù)組是否具有性質(zhì);
(Ⅱ)已知數(shù)組具有性質(zhì),證明:也具有性質(zhì);
(Ⅲ)證明:數(shù)組具有性質(zhì)的充要條件是.
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【題目】在直角坐標系xOy中,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知直線l的參數(shù)方程為:,為參數(shù)點的極坐標為,曲線C的極坐標方程為.
Ⅰ試將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程,并求曲線C的焦點在直角坐標系下的坐標;
Ⅱ設(shè)直線l與曲線C相交于兩點A,B,點M為AB的中點,求的值.
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【題目】某工廠采用甲、乙兩種不同生產(chǎn)方式生產(chǎn)某零件,現(xiàn)對兩種生產(chǎn)方式所生產(chǎn)的這種零件的產(chǎn)品質(zhì)量進行對比,其質(zhì)量按測試指標可劃分為:指標在區(qū)間100的為一等品;指標在區(qū)間的為二等品現(xiàn)分別從甲、乙兩種不同生產(chǎn)方式所生產(chǎn)的零件中,各自隨機抽取100件作為樣本進行檢測,測試指標結(jié)果的頻率分布直方圖如圖所示:
若在甲種生產(chǎn)方式生產(chǎn)的這100件零件中按等級,利用分層抽樣的方法抽取10件,再從這10件零件中隨機抽取3件,求至少有1件一等品的概率;
將頻率分布直方圖中的頻率視作概率,用樣本估計總體若從該廠采用乙種生產(chǎn)方式所生產(chǎn)的所有這種零件中隨機抽取3件,記3件零件中所含一等品的件數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望.
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