Question

三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱和底面所成的角都相等，則頂點(diǎn)在底面三角形上的射影是底面三角形的（ ）
A．外心和內(nèi)心
B．內(nèi)心
C．垂心
D．外心和垂心

Answer 1

【答案】分析：如圖，三棱錐的頂點(diǎn)P在平面ABC上的射影為O，利用已知條件側(cè)棱和底面所成的角都相等，證明△PAO≌△POB≌△POC，從而得到OA=OB=OC；又根據(jù)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，一條棱就垂直于平面上的在棱錐底面的一條邊，過頂點(diǎn)向底面做垂線，連接底面頂點(diǎn)和垂足，根據(jù)線面垂直定理得到底面的高線，得到垂心．由此推出結(jié)論．
解答：解：設(shè)頂點(diǎn)P在平面ABC的射影O，如圖連接OA，OB，OC，
∵側(cè)棱和底面所成的角都相等，
∴∠PAO=∠PBO=∠PCO，
∵PO⊥底面ABC，
PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，
∴△PAO≌△POB≌△POC
∴OA=OB=OC，
所以O(shè)為三角形的外心．
又三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，
則一條棱就垂直于另兩條棱組成的平面，
則這條棱就垂直于平面上的在棱錐底面的一條邊，
過頂點(diǎn)向底面做垂線，連接底面頂點(diǎn)和垂足，根據(jù)線面垂直定理得到底面的高線，
∴射影必是底面三角形的垂心，
故選D．
點(diǎn)評：本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查邏輯思維能力和空間思維能力，是基礎(chǔ)題．