Question

已知向量

a

=（

1

2

，

3

2

），

b

=（cosx，sinx），x∈（0，

π

2

）．
（1）若

a

∥

b

，求sinx和cos2x的值；
（2）若

a

•

b

=2cos（

12kπ+13π

6

+x）（k∈Z），求tan（x+

5π

12

）的值．

Answer 1

分析：（1）由兩向量的坐標，根據(jù)平面向量共線（平行）的坐標表示列出關系式，整理后利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出cos²x的值，由x的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出sinx的值，同時再利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡后，將cos²x的值代入即可求出cos2x的值；
（2）由平面向量的數(shù)量積運算法則計算

a

•

b

后，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形，代入已知的等式的左邊，等式右邊變形后利用誘導公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出tan（x+

π

6

）的值，把所求式子中的角度x+

5π

12

變形為（x+

π

6

）+

π

4

后，再利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡后，將求出的tan（x+

π

6

）的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵

a

∥

b

，向量

a

=（

1

2

，

3

2

），

b

=（cosx，sinx），
∴

1

2

sinx=

3

2

cosx，即sinx=

3

cosx，
又∵sin²x+cos²x=1，
∴cos²x=

1

4

，又∵x∈（0，

π

2

），
∴sinx=

1-cos2x

=

1- 1 4

=

3

2

，
cos2x=2cos²x-1=

1

2

-1=-

1

2

；
（2）∵

a

•

b

=

1

2

cosx+

3

2

sinx=cos

π

6

sinx+sin

π

6

cosx=sin（x+

π

6

），
而2cos（x+

12kπ+13π

6

）=2cos（2kπ+x+

π

6

+2π）=2cos（x+

π

6

）（k∈Z），
于是sin（x+

π

6

）=2cos（x+

π

6

），即tan（x+

π

6

）=2，
∴tan（x+

5π

12

）=tan[（x+

π

6

）+

π

4

]
=

tan(x+ π 6 ) +tan π 4

1-tan(x+ π 6 ) tan π 4

=

2+1

1-2×1

=-3．

點評：此題考查了兩角和與差的正切、正弦函數(shù)公式，誘導公式，平面向量的數(shù)量積運算法則，同角三角函數(shù)間的基本關系，以及二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵．