Question

設(shè)平面向量

a

=(cosx，sinx)，

b

=(

3

2

，

1

2

)，函數(shù)f(x)=

a

•

b

+1．
①求函數(shù)f（x）的值域；
②求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
③當(dāng)f(α)=

9

5

，且

π

6

＜α＜

2π

3

時，求sin(2α+

2π

3

)的值．

Answer 1

分析：根據(jù)f（x）的特點，利用平面向量的數(shù)量積的運算法則化簡，然后利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，從而確定出f（x）的解析式，
①根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可求出f（x）的值域；
②根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，列出不等式，求出不等式的解集即可得到x的取值范圍即為f（x）的遞增區(qū)間；
③根據(jù)f(α)=

9

5

，代入f（x）的解析式中，得到sin（α+

π

3

）的值，根據(jù)α的范圍求出α+

π

3

的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos（α+

π

3

）的值，把所求的式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，將sin（α+

π

3

）和cos（α+

π

3

）的值代入即可求出值．

解答：解：依題意f（x）=（cosx，sinx）•(

3

2

，

1

2

)+1=

3

2

cosx+

1

2

sinx+1（2分）
=sin(x+

π

3

)+1（5分）
①函數(shù)f（x）的值域是[0，2]；（6分）
②令-

π

2

+2kπ≤x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，
解得：-

5π

6

+2kπ≤x≤

π

6

+2kπ，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-

5π

6

+2kπ，

π

6

+2kπ](k∈Z)；（8分）
③由f(α)=sin(α+

π

3

)+1=

9

5

，得sin(α+

π

3

)=

4

5

，
因為

π

6

＜α＜

2π

3

，所以

π

2

＜α+

π

3

＜π，
得cos(α+

π

3

)=-

3

5

，（11分）
則sin(2α+

2π

3

)=sin2(α+

π

3

)
=2sin(α+

π

3

)cos(α+

π

3

)=-2×

4

5

×

3

5

=-

24

25

（13分）．

點評：此題綜合考查了正弦函數(shù)的定義域及值域，正弦函數(shù)的單調(diào)性，平面向量的數(shù)量積的運算以及三角函數(shù)的恒等變換．學(xué)生做題時注意角度的范圍，靈活運用三角函數(shù)公式及平面向量的數(shù)量積的運算法則．