Question

1．若雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1上一點P到右焦點的距離為2，求點P到雙曲線的漸近線的距離．

Answer 1

分析 求出雙曲線的a，b，c，離心率e，判斷P為右支上一點，由雙曲線的第二定義，可得P的坐標，再由點到直線的距離公式計算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的a=3，b=4，c=5，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$，
右焦點F（5，0），右準線方程為x=$\frac{9}{5}$，
若P在左支上，即有PF≥a+c=8，
故P在右支上，由雙曲線的第二定義可得，
|PF|=ed（d為P到右準線的距離），
即有x_P-$\frac{9}{5}$=$\frac{6}{5}$，即x_P=3，
代入雙曲線的方程可得P（3，0），
漸近線方程為y=±$\frac{4}{3}$x，
即有點P到雙曲線的漸近線的距離為$\frac{4}{\sqrt{1+\frac{16}{9}}}$=$\frac{12}{5}$．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查漸近線方程和離心率的運用，考查運算能力，屬于中檔題．