Question

根據(jù)以下數(shù)列{A_n}的通項(xiàng)公式，推導(dǎo)該數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n．（要有詳細(xì)過(guò)程）
①a_n=n²②a_n=n³．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：①下面利用“累加求和”推導(dǎo)①的前n項(xiàng)和公式．由于n³-（n-1）³=3n²-3n+1，可得3（1²+2²+…+n²）-3（1+2+…+n）+n=n³，即3S_n=n3+

3n(n+1)

2

-n即可得出．
②推導(dǎo)an=n3的前n項(xiàng)和S_n=[

n(n+1)

2

]2．由于a₁=S₁=1³=1²，S₂=a₁+a₂=1³+2³=9=3²=（1+2）²．S₃=a₁+a₂+a₃=1³+2³+3³=36=（1+2+3）²，猜想：S_n=（1+2+…+n）²=[

n(n+1)

2

]2．利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答： 解：①下面利用“累加求和”推導(dǎo)①的前n項(xiàng)和公式．
∵n³-（n-1）³=3n²-3n+1，
∴3（1²+2²+…+n²）-3（1+2+…+n）+n=n³，
∴3S_n=n3+

3n(n+1)

2

-n=

n(n+1)(2n+1)

2

．
∴S_n=

n(n+1)(2n+1)

6

．：
②推導(dǎo)an=n3的前n項(xiàng)和S_n=[

n(n+1)

2

]2．
∵a₁=S₁=1³=1²，S₂=a₁+a₂=1³+2³=9=3²=（1+2）²．
S₃=a₁+a₂+a₃=1³+2³+3³=36=（1+2+3）²，
猜想：S_n=（1+2+…+n）²=[

n(n+1)

2

]2．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)，S_k=[

k(k+1)

2

]2，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，S_k+1=S_k+a_k+1=[

k(k+1)

2

]2+（k+1）³=(k+1)2(

k2

4

+k+1)=(k+1)2•

(k+2)2

4

=[

(k+1)(k+1+1)

2

]2．
因此當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立．
綜上可得：等式對(duì)于?n∈N^*都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“累加求和”方法、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、數(shù)學(xué)歸納法，考查了猜想歸納推理證明的能力，考查了計(jì)算能力，屬于難題．