Question

8．如圖，棱長為1的正四面體在平面α上方，且棱AB?平面α，則正四面體上的所有點在平面α內(nèi)的射影構(gòu)成圖形面積的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$]
• B． [$\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$]
• C． [$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{1}{2}$]
• D． [$\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 根據(jù)題意，當線段AB相對的側(cè)棱CD∥α時投影面面積最大，當正四面體的側(cè)面ABC⊥α時，投影面面積最小，求出最大、最小值即可．

解答 解：由題意知，當線段AB相對的側(cè)棱與投影面平行時投影面積最大，
此時投影是對角線為1的正方形，如圖所示；
所以投影面積為$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$；
當正四面體的側(cè)面ABC⊥α時，投影面面積最小，
此時投影面是一個三角形，其底面邊長為線段AB，長度為1，
三角形的高是點D到平面ABC的距離，為$\sqrt{{1}^{2}{-（\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2}{3}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
如圖所示；
所以，該投影三角形的面積是$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
綜上，該四面體投影面的面積取值范圍是[$\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{1}{2}$]．
故選：D．

點評 本題考查了三視圖的應用問題，考查了空間想象能力與計算能力的應用問題，是易錯題目．