Question

已知點(diǎn)P（2，0），及⊙C：x²+y²-6x+4y+4=0．
（1）當(dāng)直線l₁過點(diǎn)P且與⊙C的圓心的距離為1時(shí)，求直線l₁的方程；
（2）設(shè)l₂：x+y-2=0交⊙C于A、B兩點(diǎn)，求以線段AB為直徑的圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)出直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求出直線l₁的方程；
（2）聯(lián)立直線和圓的方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系，求出圓心坐標(biāo)以及圓的半徑即可求出圓的方程．

解答： 解：（1）∵⊙C：x²+y²-6x+4y+4=0，
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-3）²+（y+2）²=9，
即圓心C（3，-2），半徑r=3．
當(dāng)直線l₁的斜率不存在是時(shí)，直線l₁的方程為x=2，此時(shí)過點(diǎn)P且與⊙C的圓心的距離d=1，滿足條件．此時(shí)直線l₁的方程為x=2．
當(dāng)直線l₁的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，
則此時(shí)直線方程為y-0=k（x-2），
即kx-y-2k=0，
則圓心C到直線kx--y-2k=0的距離d=

|3k+2-2k|

1+k2

=

|k+2|

1+k2

=1，
解得k=-

3

4

，此時(shí)直線方程為y=-

3

4

（x-2），
∴直線l₁的方程為y=-

3

4

（x-2）或x=2．
（2）由x+y-2=0得y=2-x代入（x-3）²+（y+2）²=9，
得x²-7x+8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=7，x₁x₂=8，
則

x1+x2

2

=

7

2

，即AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

7

2

，縱坐標(biāo)為y=2-

7

2

=-

3

2

．
|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(x1-x2)2+(x1-x2)2

=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2(49-4×8)

=

2×17

=

34

，
即線段AB為直徑的圓的半徑R=

|AB|

2

=

34

2

，
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-

7

2

)2+(y+

3

2

)2=

17

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，求直線的方程，求圓的方程，利用直線和圓的位置關(guān)系求出圓的半徑和圓心是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力．