f(x)=
x+2
2
+2sin(x+
π
4
)
2+cosx
在[-2，2]上的最大值與最小值之和為
2
2
2
2
．
分析：用常數(shù)分離法化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為f（x）=
2
+
x+
2
sinx
2+cosx
，令 g（x）=
x+
2
sinx
2+cosx
，則有f（x）=
2
+g（x），可得f（x）的最大值與最小值的和等于2
2
加上g（x）的最大值與最小值．根據(jù)函數(shù) g（x）為奇函數(shù)，可得 g（x）的最大值與最小值的和等于零，由此求得f（x） 的最大值與最小值之和．
解答：解：∵f(x)=
x+2
2
+2sin(x+
π
4
)
2+cosx
=
x+2
2
+2•sinx•cos
π
4
+2cosx•sin
π
4
2+cosx

=
x+2
2
+
2
sinx+
2
cosx
2+cosx
=
2
+
x+
2
sinx
2+cosx
，
令 g（x）=
x+
2
sinx
2+cosx
，則有f（x）=
2
+g（x），故f（x）的最大值與最小值的和等于2
2
加上g（x）的最大值與最小值．
由于函數(shù) g（x）為奇函數(shù)，故 g（x）的最大值與最小值的和等于零，
故f（x）的最大值與最小值的和等于2
2
，
故答案為 2
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用常數(shù)分離法化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的值，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某同學(xué)探究函數(shù)f(x)=x+
4
x
（x＞0）的最小值，并確定相應(yīng)的x的值．先列表如下：
x …
1
4
1
2
 1
3
2
 2
8
3
 4 8 16 …
y … 16.25 8.5 5
25
6
 4
25
6
 5 8.5 16.25 …
請(qǐng)觀察表中y值隨x值變化的特點(diǎn)，完成下列問題：（（1）（2）問的填空只要寫出結(jié)果即可）
（1）若x1x2=4，則 f（x1）
=
=
f（x2）．（請(qǐng)?zhí)顚憽埃荆?，＜”號(hào)）；若函數(shù)f(x)=x+
4
x
（x＞0）在區(qū)間 （0，2）上遞減，則f（x）在區(qū)間
（2，+∞）
（2，+∞）
  上遞增；
（2）當(dāng)x=
2
2
時(shí)，f(x)=x+
4
x
（x＞0）的最小值為
4
4
；
（3）根據(jù)函數(shù)f（x）的有關(guān)性質(zhì)，你能得到函數(shù)f(x)=x+
4
x
（x＜0）的最大值嗎？為什么？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

探究函數(shù)f(x)=x+
4
x
，x∈(0，+∞)的最小值，并確定取得最小值時(shí)x的值．
列表如下：
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
請(qǐng)觀察表中y值隨x值變化的特點(diǎn)，完成以下的問題．
函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x＞0)在區(qū)間（0，2）上遞減；
函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x＞0)在區(qū)間
（2，+∞）
（2，+∞）
上遞增．
當(dāng)x=
2
2
時(shí)，y最小=
4
4
．
證明：函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x＞0)在區(qū)間（0，2）遞減．
思考：
（1）函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x＜0)時(shí)，有最值嗎？是最大值還是最小值？此時(shí)x為何值？（直接回答結(jié)果，不需證明）
（2）函數(shù)f(x)=x+
k
x
(x＞0，k＞0)時(shí)有最值嗎？是最大值還是最小值？此時(shí)x為何值？（直接回答結(jié)果，不需證明）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

觀察下列表格，探究函數(shù)f(x)=x+
4
x
，x∈(0，+∞)的性質(zhì)，
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
（1）請(qǐng)觀察表中y值隨x值變化的特點(diǎn)，完成以下的問題．
函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x＞0)在區(qū)間（0，2）上遞減；
函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x＞0)在區(qū)間
（2，+∞）
（2，+∞）
上遞增．
當(dāng)x=
2
2
時(shí)，y最小=
4
4
．
（2）證明：函數(shù)f(x)=x+
4
x
在區(qū)間（0，2）遞減．
（3）函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x＜0)時(shí)，有最值嗎？是最大值還是最小值？此時(shí)x為何值？（直接回答結(jié)果，不需證明）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：徐州模擬 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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