Question

定義：若數(shù)列{A_n}滿足A_n+1=A_n²，則稱數(shù)列{A_n}為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，且a_n+1=2a_n²+2a_n，其中n為正整數(shù)．
（1）設b_n=2a_n+1，證明：數(shù)列{b_n}是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列{lgb_n}為等比數(shù)列；
（2）設（1）中“平方遞推數(shù)列”{b_n}的前n項之積為T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求數(shù)列{a_n}的通項及T_n關于n的表達式；
（3）記c_n=，求數(shù)列{c_n}的前n項之和S_n，并求使S_n＞2008的n的最小值．

Answer 1

解：（1）由條件a_n+1=2a_n²+2a_n，得2a_n+1+1=4a_n²+4a_n+1=（2a_n+1）²．
∴{b_n}是“平方遞推數(shù)列”．∴l(xiāng)gb_n+1=2lgb_n．∵lg（2a₁+1）=lg5≠0，∴=2．
∴{lg（2a_n+1）}為等比數(shù)列．
（2）∵lg（2a₁+1）=lg5，∴l(xiāng)g（2a_n+1）=2^n-1?lg5，∴2a_n+1=，∴a_n=（-1）．
∵lgT_n=lg（2a₁+1）+lg（2a₂+1）+…+lg（2a_n+1）==（2ⁿ-1）lg5．
∴T_n=5^2n-1．
（3）c_n====2-，
∴S_n=2n-[1++++]=2n-=2n-2[1-]=2n-2+2．
由S_n＞2008得2n-2+2＞2008，n+＞1005，
當n≤1004時，n+＜1005，當n≥1005時，n+＞1005，∴n的最小值為1005．
分析：（1）依據(jù)“平方遞推數(shù)列”定義，結合條件a_n+1=2a_n²+2a_n，可證數(shù)列{b_n}是“平方遞推數(shù)列”，進而有l(wèi)gb_n+1=2lgb_n．從而可證數(shù)列{lgb_n}為等比數(shù)列；
（2）由（1）可得a_n=（5^2n-1-1），對T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1）兩邊取對數(shù)，可求得T_n=5^2n-1．
（3）c_n=2-，S_n=2n-2+2．要使S_n＞2008，則有n+＞1005，從而可求n的最小值．
點評：本題考查新定義，將數(shù)列放到新情境中，關鍵是正確理解題意，挖掘問題的本質與隱含．