Question

（08年上虞市質(zhì)量調(diào)測二理） 如圖，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，G是線段EF的中點(diǎn)，且B點(diǎn)在平面ACG內(nèi)的射影在CG上.

(I)求證：AG⊥平面BCG；

(II) 求直線BE與平面ACG所成角的大小.

 

 

Answer 1

解法一：

 (I)過B作BH⊥面ACG于H，由已知，H在CG上，則BH⊥AG,

由于平面ABCD⊥平面ABEF，BC⊥AB.

所以 BC⊥平面ABEF,  BC⊥AG，

所以 AG⊥平面BCG；

（Ⅱ）法1

如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AF為x軸,AB為y軸,AD為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)正方形ABCD邊長是1, 由（I）知，AG⊥平面BCG；，故AG⊥BG,

AF=BE= AB,

則A(0,0,0), G(,,0), C(0,1,1),

設(shè)面ACG的法向量為=(x,y,z)

則?=x+y=0

?=y+z=0

取x=1,得＝（1,－1,1）

而=(,0,0)

所以，cos<，>==

所以直線BE與平面ACG所成角為arcsin。

 

法2.

延長AG、BE交于K,連HK,

因?yàn)锽H⊥面ACG

所以 ∠KHB即為直線BE與平面ACG所成角。

由（I）知，AG⊥平面BCG；，故AG⊥BG,

AF=BE= AB.

BG=AB,

BH===AB.

Sin∠KHB==.

所以直線BE與平面ACG所成角為arcsin.