Question

三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D為AB邊中點(diǎn)，且CC₁=2AB．
（Ⅰ）求證：平面C₁CD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求證：AC₁∥平面CDB1；
（Ⅲ）求三棱錐D﹣CBB₁的體積．

Answer 1

證明：（Ⅰ）因?yàn)镃C₁⊥平面ABC，
又CC₁平面C₁CD，
所以平面C₁CD⊥平面ABC．
（Ⅱ）證明：連接BC₁交B₁C于點(diǎn)O，連接DO．
則O是BC₁的中點(diǎn)，DO是△BAC₁的中位線(xiàn)． 所以DO∥AC₁．
因?yàn)镈O平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，
所以AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）解：因?yàn)镃C₁⊥平面ABC，
所以BB₁⊥平面ABC．
所以BB₁為三棱錐D﹣CBB₁的高．
=．
所以三棱錐D﹣CBB₁的體積為．