已知函數(shù)f(x)=x2e-ax(a>0),求函數(shù)在[1,2]上的最大值.
分析:對函數(shù)f(x)=x2e-ax,進(jìn)行求導(dǎo),解出函數(shù)的極值點(diǎn),然后根據(jù)極值點(diǎn)的值判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,因區(qū)間[1,2]比較大,里面不是單調(diào)的增或者間,需要討論,然后代入求解.
解答:解:∵f′(x)=2xe-ax+x2(-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x)(2分)
令f′(x)>0,∵e-ax>0(3分)
∴-ax2+2x>0,解得0<x<
2
a
(4分)
∴f(x)在(-∞,0)和(
2
a
,+∞)內(nèi)是減函數(shù),在(0,
2
a
)內(nèi)是增函數(shù).(6分)
①當(dāng)0<
2
a
<1,即a>2時(shí),f(x)在(1,2)內(nèi)是減函數(shù).
∴在[1,2]上fmax(x)=f(1)=e-a;(8分)
②當(dāng)1≤
2
a
≤2,即1≤a≤2時(shí),f(x)在(1,
2
a
)內(nèi)是增函數(shù),在(
2
a
,2)內(nèi)是減函數(shù).
∴在[1,2]上fmax(x)=f(
2
a
)=4a-2e-2;(10分)
③當(dāng)
2
a
>2即0<a<1時(shí),f(x)在(1,2)是增函數(shù).
∴在[1,2]上fmax(x)=f(2)=4e-2a.(12分)
綜上所述,當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)在[1,2]上的最大值為4e-2a;
當(dāng)1≤a≤2時(shí),f(x)在[1,2]上的最大值為4a-2e-2;
當(dāng)a>2時(shí),f(x)在[1,2]上的最大值為e-a.(13分)
點(diǎn)評:本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識,考查綜合分析和解決問題的能力,此題是一道中檔題;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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