Question

已知圓C經(jīng)過A（5，1），B（1，3）兩點，圓心C在x軸上，
（1）求圓C的方程
（2）求圓C被直線lx-2y-1=0截得的弦長．

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）根據(jù)題意可知線段AB為圓C的一條弦，根據(jù)垂徑定理得到AB的垂直平分線過圓心C，所以由A和B的坐標表示出直線AB的方程，然后根據(jù)兩直線垂直時斜率乘積為-1由直線AB的斜率求出AB垂直平分線的斜率，又根據(jù)中點坐標公式求出線段AB的中點坐標，由中點坐標和求出的斜率寫出AB的垂直平分線的方程，又因為圓心在x軸上，所以把求出AB的垂直平分線與x軸的交點坐標即為圓心C的坐標，然后根據(jù)兩點間的距離公式求出線段AC的長度即為圓的半徑，根據(jù)圓心坐標和半徑寫出圓的標準方程即可．
（2）求出圓心到直線x-2y-1=0的距離d，代入弦長公式計算可得答案．

解答： 解：（1）由A（5，1），B（1，3），
得到直線AB的方程為：y-3=

3-1

1-5

（x-1），即x+2y-7=0，
則直線AB的斜率為-

1

2

，所以線段AB的垂直平分線的斜率為2，
又設(shè)線段AB的中點為D，則D的坐標為（3，2），
所以線段AB的垂直平分線的方程為：y-2=2（x-3）即2x-y-4=0，
令y=0，解得x=2，所以線段AB的垂直平分線與x軸的交點即圓心C的坐標為（2，0），
而圓的半徑r=|AC|=

10

，
綜上，圓C的方程為：（x-2）²+y²=10．
（2）圓心到直線x-2y-1=0的距離d=

1

5

，
故所求的弦長為2

10- 1 5

=

14 5

5

．

點評：此題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及圓的弦長的求解，考查學(xué)生掌握兩直線垂直時斜率滿足的關(guān)系，靈活運用中點坐標公式及兩點間的距離公式化簡求值，掌握垂徑定理的靈活運用，會根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標準方程，是一道中檔題．